Ennéagone et autres polygones

Je tiens également à témoigner toute ma reconnaissance à Alain Gau, professeur de mathématiques, pour l’aide précieuse qu’il m’a apportée dans la réalisation de ce texte d’explications, notamment pour les signes, symboles et lettres ainsi que pour les précisions sur la construction de l’heptagone et sur celle du pentagone d’Euclide et du triangle d’or.

Alors je commence patiemment par les polygones avec au centre de l’œuvre l’ennéagone.
Un ennéagone ou nonagone, est un polygone à 9 sommets, donc 9 côtés et 27 diagonales.
La somme des angles internes d’un ennéagone non croisé vaut 7π radians, soit 1260 degrés.
Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure.

Rendons hommage à l’astronome et mathématicien persan Al Biruni (973-1048). Il a appris des mathématiciens indiens et de Brahmagupta en particulier, des techniques d’interpolation parabolique entre données d’abscisses équidistantes. Il les utilise pour construire de meilleures tables des fonctions sinus et tangente.
La construction d’un ennéagone, polygone à 9 côtés, le conduit à une équation du troisième degré.
Il détermina également le rayon de la Terre en se plaçant dans un premier temps au niveau de la mer, puis dans un deuxième temps en haut d’une montagne : avec un fil à plomb on a la verticale, donc l’horizontale… Et c’est ainsi qu’il trouva R = 6339 km (convertie au système métrique), la valeur moyenne de référence aujourd’hui est un rayon terrestre de 6371 km !

L’ENNÉAGONE :
Revenons au centre de l’œuvre où est représenté l’ennéagone régulier : en coloris jaune, figurent les 9 côtés de même longueur, chacun d’entre eux est relié au suivant sur le cercle jaune par un point orange. À l’intérieur de l’ennéagone apparaissent 9 triangles en rouge et en gris, chacun d’eux a pour base un côté inscrit dans le cercle et pour sommet le centre de l’ennéagone, également au centre de l’œuvre.
Voyons maintenant la construction de l’ennéagone : la droite D1, en orange et à l’horizontale, contient les points A et B. On trace, en coloris jaune, le cercle C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A ; ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan de frontière D1 dans lequel on veut situer le centre de l’ennéagone.
On trace, en coloris orange, la droite D2 passant par E et par F ; puis on trace le cercle C3 de centre F passant par A.
On trace ensuite, en coloris bleu clair, les droites D3 passant par F et A, et D4 passant par F et B.
Marquer sur une règle deux points X et Y tels que la longueur XY soit égale à la longueur AB.
Faire ensuite glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu’à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3 en bleu.
On appelle D5 la droite passant par les points B et G.
On trace, en coloris vert, le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan de frontière D5 contenant A.

On trace la droite D6, en coloris jaune, passant par I et par J ; elle coupe D2 en K.
Puis on trace le cercle C6, en coloris jaune, de centre K passant par A ; il passe aussi par B, G
et J.
C6 coupe D2, en coloris orange, en un point O dans le demi-plan de frontière D1 contenant K.
C6 coupe D4, en coloris bleu clair, C1 et C2 (les cercles jaunes) en des points autres que les points A et B, respectivement en L, M et N.
On trace ensuite la droite D7, en coloris jaune, passant par K et par H ; elle coupe C6 en P dans le demi-plan de frontière D5 contenant N.
Le polygone ABNPGOLJM est l’ennéagone recherché.
J’ai ensuite reproduit un autre ennéagone inscrit dans un plus grand cercle de centre K sur la droite orange et avec un rayon de 17 cm. Il se situe juste au delà des deux cercles verts C4 et C5 qui ont servi à la construction du premier ennéagone. L’intérieur de ce deuxième cercle est découpé en parties rouges et bleues.
À l’intérieur de ce deuxième ennéagone est inscrite sur fond vert et gris la somme des angles internes, soit 140° × 9 = 1260°.

Au delà de ce deuxième ennéagone, on aperçoit un deuxième cercle dans lequel sont représentés à gauche et à droite quatre autres ennéagones : ils sont plus petits, inscrits dans un cercle d’un rayon de 4 cm, et comme l’ennéagone central, ils sont à l’intérieur découpés en triangles gris et rouges. Tout en haut toujours dans ce deuxième cercle, c’est la construction d’un hexagone, polygone à 6 côtés, qui est représentée.

L’HEXAGONE : je l’ai représenté inscrit dans un cercle de centre O et de rayon OA = 40,5 cm.
Placer les deux points O et A et tracer le cercle de centre O, passant par A.
Puis tracer le cercle de centre A passant par O, il coupe le premier cercle en B et en F.
Tracer ensuite le cercle de centre B passant par O, il coupe le premier cercle en C.
Tracer ensuite le cercle de centre C passant par O, il coupe le premier cercle en D.
Tracer ensuite le cercle de centre D passant par O, il coupe le premier cercle en E.

On trace alors l’hexagone en joignant les points A, B, C, D, E, F par des droites jaunes. L’intérieur de l’hexagone est découpé en six portions grises et rouges délimitées par les formes courbes des cercles jaunes.

L’HEPTAGONE : Construction de THALÈS :

Approchons nous tout d’abord de Thalès de Milet, appelé communément Thalès, il fut un philosophe et savant grec né à Milet vers –625 et mort vers –547 dans cette même ville. C’est l’un des sept sages de la Grèce antique et le fondateur présumé de l’école milésienne. On lui attribue le théorème de Thalès, le calcul de la hauteur de la grande pyramide ainsi que la prédiction de l’éclipse solaire du 28 mai 585 avant notre ère.
Aétius et Proclos ainsi que d’autres auteurs antiques, rapportent que Thalès, alors jeune, a fait un séjour en Égypte, puis qu’il s’est installé par la suite à Milet. C’est en Égypte qu’il a pu acquérir ses connaissances, grâce à l’enseignement des prêtres. Il put ainsi mettre en œuvre ses connaissances en mathématiques, particulièrement en géométrie, domaines dans lesquels il fit quelques découvertes fondamentales. Ses découvertes astronomiques permirent d’aider à la navigation en haute mer en repérant certaines étoiles ou en déterminant les éphémérides.

La construction d’un heptagone presque régulier lui est attribuée, elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.
Voyons de chaque côté de l’ennéagone, au bord de l’œuvre à droite et à gauche :
J’ai placé deux points A et A1 tels que AA1 = 8 cm puis j’ai tracé le cercle de diamètre [AA1].

Puis tracer deux autres cercles de centres A et A1 et de rayon AA1, ces deux cercles en jaune et de rayon 8 cm, se coupent en P et en Q.
On divise ensuite le diamètre [AA1] en n = 7 parties égales, symbolisées par 7 petits tirés orangé sur le diamètre [AA1].

Les droites en jaune, partant du point P rencontrent le petit cercle en B, C et D, sommets du polygone. On complète par symétrie par rapport à (AA1), avec les droites, en tirés jaunes et partant du point Q ; elles aussi passent sur les tirés orangés du diamètre [AA1].
On obtient alors les points G, F et E sur le petit cercle de diamètre [AA1].
On joint, par les droites jaunes à l’intérieur du cercle, les points A, B, C, D, E, F, G et l’on obtient la construction approchée de l’heptagone régulier.
Sous le point A, l’angle interne est de 128°.
Sous l’heptagone, dans la partie grise, est inscrite la somme des angles internes, soit : 128° × 7 = 900°. Important : il est à noter que 128 est une valeur approchée ; la valeur exacte de l’angle ne peut s’écrire que sous la forme 900/7 (soit un angle de 128,57° en arrondissant au centième le plus proche). Par contre l’égalité 900/7 × 7 = 900 est juste et la somme des angles est bien égale à 900°.

Nous sommes maintenant au bord de l’œuvre dans le troisième cercle découpé en parties rouges, grises et bleues. Nous arrivons en haut à droite et à gauche : dans les angles est représentée la construction de l’octogone.

L’OCTOGONE :
Octogone inscrit dans un cercle :
À partir de deux points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A.
Tracer ensuite deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires : ACEG, représenté en lignes droites en coloris vert, est un carré.
Tracer ensuite les bissectrices des angles formés par les droites (AE) et (CG) : pour cela tracer les cercles, ici en coloris jaune, de centre A et C, passant par O, qui se recoupent en I.
(OI) en coloris orangé, est la médiatrice de [AC] et coupe le cercle en B et en F.
Tracer les cercles de centres C et E, passant par O, qui se recoupent en J.
(OJ) en ligne droite orange, est la médiatrice de [CE] et coupe le cercle en D et en H.
En joignant les extrémités de ces quatre diamètres, on obtient l’octogone régulier ABCDEFGH inscrit dans le cercle jaune.
Cette représentation figure en haut dans les angles droit et gauche de l’œuvre, l’intérieur de l’octogone est partagé en huit parties rouges et grises, l’angle interne sous le sommet C indique 135°. Une partie de l’intérieur des cercles ayant servi à la construction, apparaît en coloris vert et en coloris bleu.
Sous les octogones, dans le quatrième cercle et sur coloris rouge, à droite et à gauche, est inscrite la somme des angles internes, soit 135° × 8 = 1080°.

PENTAGONE D’EUCLIDE :
Découvrons tout d’abord quelques « fragments » de la vie d’Euclide : il fut un mathématicien de la Grèce antique, auteur d’éléments de mathématiques, qui constituent l’un des textes fondateurs de cette discipline en Occident. Il est possible qu’il ait vécu vers 300 avant notre ère.
L’écrit le plus ancien connu concernant la vie d’Euclide apparaît dans un résumé sur l’histoire de la géométrie écrit au Vème siècle de notre ère par le philosophe néo-platonicien Proclus, commentateur du premier livre des Éléments. Si l’on admet la chronologie donnée par Proclus, Euclide, vivant entre Platon et Archimède et contemporain de Ptolémée 1er, a donc vécu vers 300 avant J-C.

Proclus ne donne lui-même aucune source pour ses indications. Il dit seulement qu’« en rassemblant ses Éléments, Euclide en a coordonné beaucoup […] et a évoqué dans d’irréfutables démonstrations ceux que ses prédécesseurs avaient montrés d’une manière relâchée ».
Les Éléments de mathématiques, en treize livres, constituent l’ouvrage le plus célèbre d’Euclide et un best-seller de l’édition scientifique. Les six premiers livres sont consacrés à la géométrie plane ; le premier traite en particulier des triangles et des droites parallèles, et inclut une preuve du théorème de Pythagore. Trois livres suivants, aussi appelés « Livres arithmétiques », traitent des nombres premiers, de la construction du plus grand diviseur entier commun à deux ou plusieurs entiers, donnent un critère pour construire des nombres parfaits, et autres nombres et soustractions…

Nous redescendons en bas de l’œuvre à gauche et à droite dans le quatrième cercle où figure le pentagone.
En bas à gauche : Euclide prouve qu’il peut construire un triangle d’or (voir détail) inscrit dans un cercle, le triangle d’or est symbolisé en tirés jaunes.
À partir du triangle d’or OA’C, construire le triangle d’or CDA grâce à l’arc de cercle de centre A’ et de rayon A’C.
En prenant les bissectrices des angles C et D et en les prolongeant jusqu’au cercle, il obtient les deux sommets B et E manquants. ABCDE est un pentagone régulier.

En bas à droite :
On peut grandement simplifier la construction d’Euclide en conservant le même principe : construire des triangles d’or ou d’argent.
Tracer un cercle en coloris jaune de centre O et de rayon R = 4,5 cm.
Tracer ensuite deux diamètres perpendiculaires, [AC] et [BD] en coloris orange.
Tracer le milieu I de [OA].
Tracer le cercle en coloris orange de centre I et passant par O (rayon R’ = R/2), ce cercle passe aussi par A.
Tracer une droite en coloris jaune, passant par B et I ; elle intercepte le cercle orange en E et F (E est le plus proche de B).
Tracer deux (arcs de) cercles en coloris jaune, de centre B et de rayons (respectivement) BE et BF.
Les cinq points D, D1, D2, D3, D4 forment un pentagone régulier.
Sous les deux pentagones est inscrite la somme des angles internes, soit 108° × 5 = 540°.

LE DÉCAGONE :
Il est représenté tout en bas de l’œuvre à droite et à gauche ; l’intérieur de chaque décagone est divisé en dix parties rouges et grises.

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier : par bissection.
Tracer un cercle, ici en coloris jaune, qui passe par tous les sommets du pentagone.
Tracer le milieu de chaque côté du pentagone.
Tracer un segment, toujours en coloris jaune, qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent le cercle.
A côté des deux décagones, est inscrite la somme des angles internes, soit 144° × 10 = 1440°.

Une autre construction du décagone existe, elle est très simple mais pas forcément exacte :
Tracer un cercle de centre O.
Soit A un point quelconque sur le cercle.

Il suffit alors de placer le point B sur le cercle tel que l’angle AOB mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°.
Il ne reste plus qu’à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Voilà je pense que cette première immersion dans les mathématiques, et plus précisément au cœur de la géométrie des polygones réguliers, vous permettra de comprendre et de rêver aux mille facettes des cercles, droites, triangles, découverts par les savants grecs il y a plus de deux mille ans !